VEXOBEN
Vexoben
May 7, 2018
It takes 2 minutes to read this article.

本文整理了《组合数学》中二项式系数的主要内容,包括二项式系数,二项式定理,多项式定理,牛顿二项式定理与常用的组合计数恒等式。

(请刷新以获取数学公式)

二项式系数及扩展

对任意实数,整数,定义二项式系数

由定义易证:

1、(帕斯卡公式)

2、(吸收公式)

二项式定理

1、(二项式定理)设是正整数,对于所有的,有

证明见高中教科书。

2、令,即得:

3、令,即得:

这说明在大小为的集合中,有偶数个元素的子集和有奇数个元素的子集均有

4、对任意正整数,有恒等式:

下面给出证明:

5、对任意整数,有恒等式

可以用组合推理的形式给出证明:

假设现在要在个人中选出人做班委,并在其中选出一个班长和一个团委(可以兼任),这个方案数显然是

如果班长和团委是一个人,有种方案;如果是两个人,有种方案,共有种方案

两种计数方式的结果显然是相同的,这就证明了上面的恒等式。

6、对任意整数,有恒等式

下面给出证明:

两边对求导得:

代入知等式成立

7、对任意整数,有恒等式

下面给出证明:

求两边在内的定积分即得上述等式。

8、(范德蒙卷积公式)对所有的正整数,,有恒等式

作为特殊形式,有恒等式

下面给出证明:

考虑项,它的系数为

考虑项,是对于所有,第一个式子的项与第二个式子的 项的乘积,它的系数为 两者显然相等,故等式成立。

多项式定理

对正整数和非负整数定义多项式系数

可以帕斯卡公式扩展到多项式系数:

将二项式定理推广到多项式定理:

证明都和二项的情况相同。

牛顿二项式定理

是实数。假设 < ,对于所有,有

其中

,易知 < 1,于是有

是正整数,令,则有

因此当 < 1有

代替,于是有

作为特殊情况,当时有

重要的二项式系数恒等式

1、(阶乘展开式)对整数

2、(对称恒等式)对整数是整数有

3、(吸收恒等式)对整数

4、(帕斯卡公式)对整数

5、(上指标反转)对整数

6、(三项式版恒等式)对整数

7、(牛顿二项式定理)当 < 为整数有

8、(平行求和法)对整数

9、(上指标求和法)对整数

10、(范德蒙卷积公式)对整数