本文整理了《组合数学》中二项式系数的主要内容，包括二项式系数，二项式定理，多项式定理，牛顿二项式定理与常用的组合计数恒等式。
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二项式系数及扩展
对任意实数\(n\)，整数\(k\)，定义二项式系数
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由定义易证：
1、(帕斯卡公式)
\[\dbinom{n}{k}=\dbinom{n-1}{k}+\dbinom{n-1}{k-1}\]2、(吸收公式)
\[k\dbinom{n}{k}=n\dbinom{n-1}{k-1}\]二项式定理
1、（二项式定理）设\(n\)是正整数，对于所有的\(x\)和\(y\)，有
\[(x+y)^n=\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}x^{n-k}y^k\]证明见高中教科书。
\[\]2、令\(x=y=1\)，即得：
\[\dbinom{n}{0}+\dbinom{n}{1}+...+\dbinom{n}{n}=2^n\] \[\]3、令\(x=1,y=-1\)，即得：
\[\dbinom{n}{0}-\dbinom{n}{1}+\dbinom{n}{2}-...+(-1)^n\dbinom{n}{n}=0\]这说明在大小为\(n\)的集合\(S\)中，有偶数个元素的子集和有奇数个元素的子集均有\(2^{n-1}个\)
\[\]4、对任意正整数\(n\)，有恒等式:
\[1\dbinom{n}{1}+2\dbinom{n}{2}+...+n\dbinom{n}{n}=n2^{n-1}\]下面给出证明：
\[令 S=0\dbinom{n}{0}+1\dbinom{n}{1}+...+n\dbinom{n}{n} \\ 又S=0\dbinom{n}{n}+1\dbinom{n}{n-1}+...+n\dbinom{n}{0} \\ \therefore 2S=n\left[\dbinom{n}{0}+\dbinom{n}{1}+...+\dbinom{n}{n}\right] \\ 即S=n2^{n-1}\] \[\]5、对任意整数\(n>=1\)，有恒等式
\[n(n+1)2^{n-2}=\sum_{k=1}^{n}k^2\dbinom{n}{k}\]可以用组合推理的形式给出证明：
假设现在要在\(n\)个人中选出\(k\)人做班委，并在其中选出一个班长和一个团委（可以兼任），这个方案数显然是\(\sum_{k=1}^{n}k^2\tbinom{n}{k}\)
如果班长和团委是一个人，有\(n2^{n-1}\)种方案；如果是两个人，有\(n(n-1)2^{n-2}\)种方案，共有\(n(n+1)2^{n-2}\)种方案
两种计数方式的结果显然是相同的，这就证明了上面的恒等式。
\[\]6、对任意整数\(n>1\)，有恒等式
\[\dbinom{n}{1}-2\dbinom{n}{2}+3\dbinom{n}{3}+...+(-1)^{n-1}n\dbinom{n}{n}=0\]下面给出证明：
\[\because (x-1)^n=\dbinom{n}{0}-\dbinom{n}{1}x+\dbinom{n}{2}x^2...+ (-1)^n\dbinom{n}{n}x^n\]两边对\(x\)求导得：
\[n(x-1)^{n-1}=-\dbinom{n}{1}+2\dbinom{n}{2}x-3\dbinom{n}{3}x^2+...+(-1)^nn\dbinom{n}{n}x^{n-1}\]代入\(x=1\)知等式成立
\[\]7、对任意整数\(n>=1\)，有恒等式
\[1+\frac{1}{2}\dbinom{n}{1}+\frac{1}{3}\dbinom{n}{2}+...+\frac{1}{n+1}\dbinom{n}{n}=\frac{2^{n+1}-1}{n+1}\]下面给出证明：
\[(x+1)^n=\dbinom{n}{0}+\dbinom{n}{1}x+\dbinom{n}{2}x^2+...+\dbinom{n}{n}x^n\]求两边在\([0,1]\)内的定积分即得上述等式。
\[\]8、（范德蒙卷积公式）对所有的正整数\(m_1\),\(m_2\)和\(n\)，有恒等式
\[\sum_{k=0}^{n}\dbinom{m_1}{k}\dbinom{m_2}{n-k}=\dbinom{m_1+m_2}{n}\]作为特殊形式，有恒等式
\[\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}\dbinom{n}{n-k}=\dbinom{2n}{n}\]下面给出证明：
考虑\((1+x)^{m_1+m_2}\) 的 \(x^n\)项，它的系数为\(\tbinom{m_1+m_2}{n}\)
考虑\((1+x)^{m_1}(1+x)^{m_2}\) 的 \(x^n\)项，是对于所有\(k≤n\)，第一个式子的\(x^k\)项与第二个式子的 \(x^{n-k}\)项的乘积，它的系数为\(\sum_{k=0}^{n}\dbinom{m_1}{k}\dbinom{m_2}{n-k}\) 两者显然相等，故等式成立。
\[\]多项式定理
对正整数\(n\)和非负整数\(n_1 ,n_2,...n_t\)定义多项式系数
\[\dbinom{n}{n_1,n_2,...,n_t}=\frac{n!}{n_1!n_2!...n_t!}\]可以帕斯卡公式扩展到多项式系数：
\[\dbinom{n}{n_1,n_2,...,n_t}=\dbinom{n-1}{n_1-1,n_2,...,n_t}+\dbinom{n-1}{n_1,n_2-1,...,n_t}+...+\dbinom{n-1}{n_1,n_2,...,n_t-1}\]将二项式定理推广到多项式定理：
\[(x_1+x_2+...+x_t)^n=\sum_{n_1+n_2+...+n_t=n}\dbinom{n}{n_1,n_2,...,n_t}x_1^{n_1}x_2^{n_2}...x_t^{n_t}\]证明都和二项的情况相同。
\[\]牛顿二项式定理
设\(\alpha\)是实数。假设\(abs(x)\) < \(abs(y)\),对于所有\(x\)和\(y\)，有
\[(x+y)^{\alpha}=\sum_{k=0}^{\infty}\dbinom{\alpha}{k}x^ky^{\alpha-k}\]其中
\[\dbinom{\alpha}{k}=\frac{\alpha(\alpha-1)...(\alpha-k+1)}{k!}\]设\(z=x/y\)，易知\(abs(z)\) < 1，于是有
\[(1+z)^{\alpha}=\sum_{k=0}^{\infty}\dbinom{\alpha}{k}z^k\]设\(n\)是正整数，令\(\alpha=-n\)，则有
\[\dbinom{\alpha}{k}=\dbinom{-n}{k}=\frac{-n(-n-1)...(-n-k+1)}{k!}\\ =(-1)^k\frac{n(n+1)...(n+k-1)}{k!}=(-1)^k\dbinom{n+k-1}{k}\]因此当\(abs(z)\) < 1有
\[\frac{1}{(1+z)^n}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\dbinom{n+k-1}{k}\]用\(-z\)代替\(z\)，于是有
\[\frac{1}{(1-z)^n}=\sum_{k=0}^{\infty}\dbinom{n+k-1}{k}\]作为特殊情况，当\(n=1\)时有
\[\frac{1}{1+z}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^kz^k \\ \frac{1}{1-z}=\sum_{k=0}^{\infty}z^k\]重要的二项式系数恒等式
1、（阶乘展开式）对整数\(n>=k>=0\)有
\[\dbinom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\]2、（对称恒等式）对整数\(n>=0\)，\(k\)是整数有
\[\dbinom{n}{k}=\dbinom{n}{n-k}\]3、（吸收恒等式）对整数\(k≠0\)有
\[k\dbinom{r}{k}=r\dbinom{r-1}{k-1}\]4、（帕斯卡公式）对整数\(k\)有
\[\dbinom{r}{k}=\dbinom{r-1}{k}+\dbinom{r-1}{k-1}\]5、（上指标反转）对整数\(k\)有
\[\dbinom{r}{k}=(-1)^k\dbinom{k-r-1}{k}\]6、（三项式版恒等式）对整数\(m,k\)有
\[\dbinom{r}{m}\dbinom{m}{k}=\dbinom{r}{k}\dbinom{r-k}{m-k}\]7、（牛顿二项式定理）当\(abs(x)\) < \(abs(y)\)或\(\alpha\)为整数有
\[(x+y)^{\alpha}=\sum_{k=0}^{\infty}\dbinom{\alpha}{k}x^ky^{\alpha-k}\]8、（平行求和法）对整数\(n\)有
\[\sum_{k=0}^{n}\dbinom{r+k}{k}=\dbinom{r+n+1}{n}\]9、（上指标求和法）对整数\(n,m>=0\)有
\[\sum_{k=0}^{n}\dbinom{k}{m}=\dbinom{n+1}{m+1}\]10、（范德蒙卷积公式）对整数\(n\)有
\[\sum_{k=0}^{n}\dbinom{r}{k}\dbinom{s}{n-k}=\dbinom{r+s}{n}\]